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Micron Document

<!DOCTYPE html>

<title>Discrétisation</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Discrétisation</h1>

</header>

</div>

En <a href="Math%C3%A9matiques_appliqu%C3%A9es" title="Mathématiques appliquées">mathématiques appliquées</a>, la discrétisation est la transposition d'un état <a href="Continu" class="mw-disambig" title="Continu">continu</a> (fonction, modèle, variable, équation) en un équivalent <a href="Discret" class="mw-disambig" title="Discret">discret</a>. Ce procédé constitue en général une étape préliminaire à la résolution numérique d'un problème ou sa programmation sur machine. Un cas particulier est la dichotomisation où le nombre de classes discrètes est 2, où on peut approcher une variable continue en une variable binaire.

La discrétisation est aussi reliée aux <a href="Math%C3%A9matiques_discr%C3%A8tes" title="Mathématiques discrètes">mathématiques discrètes</a>, et compte parmi les composantes importantes de la programmation granulaire. Dans le contexte, la discrétisation peut renvoyer à la modification de la granularité, quand plusieurs variables discrètes sont réunies ou des catégories discrètes fusionnées.

Discrétiser des données continues engendre systématiquement une erreur de discrétisation <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/discretization_error" class="extiw external" title="en:discretization error">(en)</a>. Un des objectifs est donc de concevoir un modèle discret qui minimise au mieux cette erreur.

Il ne faut pas confondre discrétisation et <a href="Quantification_(signal)" title="Quantification (signal)">quantification</a>.

On compte également la méthode d'Euler-Maruyama <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Euler-Maruyama_method" class="extiw external" title="en:Euler-Maruyama method">(en)</a> et le <a href="Bloqueur_(traitement_du_signal)" class="mw-redirect" title="Bloqueur (traitement du signal)">bloqueur d'ordre 0</a> parmi les méthodes de discrétisation.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Discrétisation_de_modèles_d'état_linéaires">Discrétisation de modèles d'état linéaires</h2></div>

La discrétisation apparait dans la transformation d'<a href="%C3%89quation_diff%C3%A9rentielle" title="Équation différentielle">équations différentielles</a> continues en équations aux différence discrètes.

On considère le modèle d'état en espace, continu en temps :

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\mathbf {x} }}(t)&=\mathbf {A} \mathbf {x} (t)+\mathbf {B} \mathbf {u} (t)+\mathbf {w} (t)\\\mathbf {y} (t)&=\mathbf {C} \mathbf {x} (t)+\mathbf {D} \mathbf {u} (t)+\mathbf {v} (t)\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af97d9d221f454a486046a7c5e738a4ec476024e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:30.285ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\mathbf {x} }}(t)&=\mathbf {A} \mathbf {x} (t)+\mathbf {B} \mathbf {u} (t)+\mathbf {w} (t)\\\mathbf {y} (t)&=\mathbf {C} \mathbf {x} (t)+\mathbf {D} \mathbf {u} (t)+\mathbf {v} (t)\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

où v et w sont des sources de <a href="Bruit_blanc" title="Bruit blanc">bruit blanc</a> avec une <a href="Densit%C3%A9_spectrale_de_puissance" title="Densité spectrale de puissance">densité spectrale de puissance</a>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {w} (t)\sim {\mathcal {N}}(0,\mathbf {Q} )\ ,\ \mathbf {v} (t)\sim {\mathcal {N}}(0,\mathbf {R} )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/768c8c25f3fa88b68c99432a9d4fab6cee5b3a77.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:33.605ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {w} (t)\sim {\mathcal {N}}(0,\mathbf {Q} )\ ,\ \mathbf {v} (t)\sim {\mathcal {N}}(0,\mathbf {R} )}" loading="lazy"></dd></dl>

peuvent être discrétisées, en supposant que le signal u est un bloqueur d'ordre 0 et une <a href="Int%C3%A9gration_continue" title="Intégration continue">intégration continue</a> pour le bruit v, donnant

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} [k+1]&=\mathbf {A} _{d}\mathbf {x} [k]+\mathbf {B} _{d}\mathbf {u} [k]+\mathbf {w} [k]\\\mathbf {y} [k]&=\mathbf {C} _{d}\mathbf {x} [k]+\mathbf {D} _{d}\mathbf {u} [k]+\mathbf {v} [k]\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/28e30f4a75f48ce6544a3b54ffcf752e15d1781b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:35.896ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} [k+1]&=\mathbf {A} _{d}\mathbf {x} [k]+\mathbf {B} _{d}\mathbf {u} [k]+\mathbf {w} [k]\\\mathbf {y} [k]&=\mathbf {C} _{d}\mathbf {x} [k]+\mathbf {D} _{d}\mathbf {u} [k]+\mathbf {v} [k]\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

avec des covariances

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</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {w} [k]\sim {\mathcal {N}}(0,\mathbf {Q} _{d})\ ,\ \mathbf {v} [k]\sim {\mathcal {N}}(0,\mathbf {R} _{d})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/24b2e94a32272a073cdbb67643d557a0f161bd82.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:35.501ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {w} [k]\sim {\mathcal {N}}(0,\mathbf {Q} _{d})\ ,\ \mathbf {v} [k]\sim {\mathcal {N}}(0,\mathbf {R} _{d})}" loading="lazy"></dd></dl>

où

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {A} _{d}=\mathrm {e} ^{\mathbf {A} T}={\mathcal {L}}^{-1}\{(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}\}_{t=T}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/059c5d61328d932f1c3f3f22365648f036ca6881.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:33.787ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {A} _{d}=\mathrm {e} ^{\mathbf {A} T}={\mathcal {L}}^{-1}\{(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}\}_{t=T}}" loading="lazy"></dd>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {B} _{d}=\left(\int _{\tau =0}^{T}\mathrm {e} ^{\mathbf {A} \tau }\mathrm {d} \tau \right)\mathbf {B} =\mathbf {A} ^{-1}(\mathbf {A} _{d}-I)\mathbf {B} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3f434deead271ed877d07abe0dc248654de28d91.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:40.985ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {B} _{d}=\left(\int _{\tau =0}^{T}\mathrm {e} ^{\mathbf {A} \tau }\mathrm {d} \tau \right)\mathbf {B} =\mathbf {A} ^{-1}(\mathbf {A} _{d}-I)\mathbf {B} }" loading="lazy">, si A est <a href="Matrice_inversible" title="Matrice inversible">régulière</a></dd>

<msub>

</mrow>

</mrow>

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</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {C} _{d}=\mathbf {C} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/53fcd93bf437d314bcf35f203080ca5ef82f7031.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.053ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {C} _{d}=\mathbf {C} }" loading="lazy"></dd>

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {D} _{d}=\mathbf {D} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f9fe1562eac519901cb3545b8f41ddf34951cb9c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.29ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {D} _{d}=\mathbf {D} }" loading="lazy"></dd>

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</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {Q} _{d}=\int _{\tau =0}^{T}\mathrm {e} ^{\mathbf {A} \tau }\mathbf {Q} \mathrm {e} ^{\mathbf {A} ^{\top }\tau }\,\mathrm {d} \tau }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7acc333a24da9c3b2bef01e9df35fee694fa27da.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:24.237ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {Q} _{d}=\int _{\tau =0}^{T}\mathrm {e} ^{\mathbf {A} \tau }\mathbf {Q} \mathrm {e} ^{\mathbf {A} ^{\top }\tau }\,\mathrm {d} \tau }" loading="lazy"></dd>

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</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {R} _{d}={\frac {1}{T}}\mathbf {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9bf648494e4448699d4135aba31f82b2d634789e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:10.669ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {R} _{d}={\frac {1}{T}}\mathbf {R} }" loading="lazy"></dd></dl>

et T est le temps d'échantillonnage, et <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {A} ^{\top }}">

<msup>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {A} ^{\top }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fad17fef126eb0106f72750a43341adc6a6d3f45.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.53ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {A} ^{\top }}" loading="lazy"> est la <a href="Matrice_transpos%C3%A9e" title="Matrice transposée">transposée</a> de A.

Une astuce pour calculer Ad et Bd en une étape consiste à utiliser la propriété<a href="#cite_note-1">[1]</a>:p. 215

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</mstyle>

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \exp \left(T{\begin{bmatrix}\mathbf {A} &\mathbf {B} \\\mathbf {0} &\mathbf {0} \end{bmatrix}}\right)={\begin{bmatrix}\mathbf {M_{11}} &\mathbf {M_{12}} \\\mathbf {0} &\mathbf {I} \end{bmatrix}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9535861dbbc8875991fd4f54392d154538e2fe3a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:36.007ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \exp \left(T{\begin{bmatrix}\mathbf {A} &\mathbf {B} \\\mathbf {0} &\mathbf {0} \end{bmatrix}}\right)={\begin{bmatrix}\mathbf {M_{11}} &\mathbf {M_{12}} \\\mathbf {0} &\mathbf {I} \end{bmatrix}}}" loading="lazy"></dd></dl>

et donc

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {A} _{d}=\mathbf {M} _{11},\quad \mathbf {B} _{d}=\mathbf {M} _{12}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1d377759eed635df46c0aaeac63073450c0c452e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:25.132ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {A} _{d}=\mathbf {M} _{11},\quad \mathbf {B} _{d}=\mathbf {M} _{12}.}" loading="lazy"></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Discrétisation_de_bruits">Discrétisation de bruits</h3></div>

L'évaluation numérique de Qd est rendue plus délicate avec l'intégrale d'une exponentielle de matrice. On peut la calculer en deux temps, d'abord la construction de la matrice, puis le calcul de son exponentielle<a href="#cite_note-2">[2]</a>

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</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {F} ={\begin{bmatrix}-\mathbf {A} &\mathbf {Q} \\\mathbf {0} &\mathbf {A} ^{\top }\end{bmatrix}}T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4291881bd44601fed07716ebf3f71fac91344e81.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:19.304ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {F} ={\begin{bmatrix}-\mathbf {A} &\mathbf {Q} \\\mathbf {0} &\mathbf {A} ^{\top }\end{bmatrix}}T}" loading="lazy"></dd>

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</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {G} =\mathrm {e} ^{\mathbf {F} }={\begin{bmatrix}\dots &\mathbf {A} _{d}^{-1}\mathbf {Q} _{d}\\\mathbf {0} &\mathbf {A} _{d}^{\top }\end{bmatrix}}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/30e541e280df60809987ee7d65e2e358e2f435ca.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:27.359ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {G} =\mathrm {e} ^{\mathbf {F} }={\begin{bmatrix}\dots &\mathbf {A} _{d}^{-1}\mathbf {Q} _{d}\\\mathbf {0} &\mathbf {A} _{d}^{\top }\end{bmatrix}}.}" loading="lazy"></dd></dl>

Le bruit discrétisé est ensuite évalué en multipliant la transposée du bloc en bas à droite de G avec celui en haut à droite :

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</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {Q} _{d}=(\mathbf {A} _{d}^{\top })^{\top }(\mathbf {A} _{d}^{-1}\mathbf {Q} _{d})=\mathbf {A} _{d}(\mathbf {A} _{d}^{-1}\mathbf {Q} _{d}).}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1070faa08739c2c1f6183e05db7f0aa9ed3063ea.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:38.428ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {Q} _{d}=(\mathbf {A} _{d}^{\top })^{\top }(\mathbf {A} _{d}^{-1}\mathbf {Q} _{d})=\mathbf {A} _{d}(\mathbf {A} _{d}^{-1}\mathbf {Q} _{d}).}" loading="lazy"></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Dérivation">Dérivation</h3></div>

En partant du modèle continu

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {\dot {x}} (t)=\mathbf {A} \mathbf {x} (t)+\mathbf {B} \mathbf {u} (t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/07382ee6e79626aa17701671f1449132afbffe99.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:22.113ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {\dot {x}} (t)=\mathbf {A} \mathbf {x} (t)+\mathbf {B} \mathbf {u} (t)}" loading="lazy"></dd></dl>

on sait que l'<a href="Exponentielle_de_matrice" class="mw-redirect" title="Exponentielle de matrice">exponentielle de matrice</a> est

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</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\mathrm {e} ^{\mathbf {A} t}=\mathbf {A} \mathrm {e} ^{\mathbf {A} t}=\mathrm {e} ^{\mathbf {A} t}\mathbf {A} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ab65e33af57568c0b026dcb9ecdfc8d2fbc22f54.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:23.063ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\mathrm {e} ^{\mathbf {A} t}=\mathbf {A} \mathrm {e} ^{\mathbf {A} t}=\mathrm {e} ^{\mathbf {A} t}\mathbf {A} }" loading="lazy"></dd></dl>

et en multipliant à gauche le modèle :

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<mover>

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<msup>

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</mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

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</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {e} ^{-\mathbf {A} t}\mathbf {\dot {x}} (t)=\mathrm {e} ^{-\mathbf {A} t}\mathbf {A} \mathbf {x} (t)+\mathrm {e} ^{-\mathbf {A} t}\mathbf {B} \mathbf {u} (t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3404ed623ea9d9522e1fbf3a20e1d0d205cdb5f7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:35.808ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {e} ^{-\mathbf {A} t}\mathbf {\dot {x}} (t)=\mathrm {e} ^{-\mathbf {A} t}\mathbf {A} \mathbf {x} (t)+\mathrm {e} ^{-\mathbf {A} t}\mathbf {B} \mathbf {u} (t)}" loading="lazy"></dd></dl>

on reconnait

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</mrow>

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</mrow>

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</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(\mathrm {e} ^{-\mathbf {A} t}\mathbf {x} (t))=\mathrm {e} ^{-\mathbf {A} t}\mathbf {B} \mathbf {u} (t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/730ebe38581b660f29e4837bdf9b8f67ca799d95.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:27.101ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(\mathrm {e} ^{-\mathbf {A} t}\mathbf {x} (t))=\mathrm {e} ^{-\mathbf {A} t}\mathbf {B} \mathbf {u} (t)}" loading="lazy"></dd></dl>

L'intégration donne ainsi

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</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {e} ^{-\mathbf {A} t}\mathbf {x} (t)-\mathrm {e} ^{0}\mathbf {x} (0)=\int _{0}^{t}\mathrm {e} ^{-\mathbf {A} \tau }\mathbf {B} \mathbf {u} (\tau )\,\mathrm {d} \tau }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/00d0cfaffbfab48f0640dd889b00a962e3619e89.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:38.81ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {e} ^{-\mathbf {A} t}\mathbf {x} (t)-\mathrm {e} ^{0}\mathbf {x} (0)=\int _{0}^{t}\mathrm {e} ^{-\mathbf {A} \tau }\mathbf {B} \mathbf {u} (\tau )\,\mathrm {d} \tau }" loading="lazy"></dd>

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</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {x} (t)=\mathrm {e} ^{\mathbf {A} t}\mathbf {x} (0)+\int _{0}^{t}\mathrm {e} ^{\mathbf {A} (t-\tau )}\mathbf {B} \mathbf {u} (\tau )\,\mathrm {d} \tau }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3f9333fc84cdcd794fef571baef54e6518cf9948.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:37.318ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {x} (t)=\mathrm {e} ^{\mathbf {A} t}\mathbf {x} (0)+\int _{0}^{t}\mathrm {e} ^{\mathbf {A} (t-\tau )}\mathbf {B} \mathbf {u} (\tau )\,\mathrm {d} \tau }" loading="lazy"></dd></dl>

ce qui est une solution analytique du modèle continu.

On veut désormais discrétiser cette expression. On suppose u <a href="R%C3%A9gularit%C3%A9_par_morceaux" title="Régularité par morceaux">constante</a> sur chaque pas de temps.

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<mover>

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</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {x} [k]\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathbf {x} (kT)=\mathrm {e} ^{\mathbf {A} kT}\mathbf {x} (0)+\int _{0}^{kT}\mathrm {e} ^{\mathbf {A} (kT-\tau )}\mathbf {B} \mathbf {u} (\tau )\,\mathrm {d} \tau }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bcaf40ead3536b28527e25eb610f3cc518b88977.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:50.918ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {x} [k]\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathbf {x} (kT)=\mathrm {e} ^{\mathbf {A} kT}\mathbf {x} (0)+\int _{0}^{kT}\mathrm {e} ^{\mathbf {A} (kT-\tau )}\mathbf {B} \mathbf {u} (\tau )\,\mathrm {d} \tau }" loading="lazy"></dd>

</mrow>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {x} [k+1]=\mathrm {e} ^{\mathbf {A} (k+1)T}\mathbf {x} (0)+\int _{0}^{(k+1)T}\mathrm {e} ^{\mathbf {A} ((k+1)T-\tau )}\mathbf {B} \mathbf {u} (\tau )\,\mathrm {d} \tau =\mathrm {e} ^{\mathbf {A} T}\left[\mathrm {e} ^{\mathbf {A} kT}\mathbf {x} (0)+\int _{0}^{kT}\mathrm {e} ^{\mathbf {A} (kT-\tau )}\mathbf {B} \mathbf {u} (\tau )\,\mathrm {d} \tau \right]+\int _{kT}^{(k+1)T}\mathrm {e} ^{\mathbf {A} (kT+T-\tau )}\mathbf {B} \mathbf {u} (\tau )\,\mathrm {d} \tau }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f17fcf8d1868ca16fcb8f892eedb707f1d0cfeca.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:130.932ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {x} [k+1]=\mathrm {e} ^{\mathbf {A} (k+1)T}\mathbf {x} (0)+\int _{0}^{(k+1)T}\mathrm {e} ^{\mathbf {A} ((k+1)T-\tau )}\mathbf {B} \mathbf {u} (\tau )\,\mathrm {d} \tau =\mathrm {e} ^{\mathbf {A} T}\left[\mathrm {e} ^{\mathbf {A} kT}\mathbf {x} (0)+\int _{0}^{kT}\mathrm {e} ^{\mathbf {A} (kT-\tau )}\mathbf {B} \mathbf {u} (\tau )\,\mathrm {d} \tau \right]+\int _{kT}^{(k+1)T}\mathrm {e} ^{\mathbf {A} (kT+T-\tau )}\mathbf {B} \mathbf {u} (\tau )\,\mathrm {d} \tau }" loading="lazy"></dd></dl>

On reconnait l'expression entre crochets dans le premier terme comme x[k], et le second terme peut être simplifié en faisant la substitution v(τ) = kT + T – τ, ce qui permet d τ = – d v. On suppose aussi que u est constante dans l'intégrale, ce qui donne :

<mtr>

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</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} [k+1]&=&\mathrm {e} ^{\mathbf {A} T}\mathbf {x} [k]-\left(\int _{v(kT)}^{v((k+1)T)}\mathrm {e} ^{\mathbf {A} v}\,\mathrm {d} v\right)\mathbf {B} \mathbf {u} [k]\\&=&\mathrm {e} ^{\mathbf {A} T}\mathbf {x} [k]-\left(\int _{T}^{0}\mathrm {e} ^{\mathbf {A} v}\,\mathrm {d} v\right)\mathbf {B} \mathbf {u} [k]\\&=&\mathrm {e} ^{\mathbf {A} T}\mathbf {x} [k]+\left(\int _{0}^{T}\mathrm {e} ^{\mathbf {A} v}\,\mathrm {d} v\right)\mathbf {B} \mathbf {u} [k]\\&=&\mathrm {e} ^{\mathbf {A} T}\mathbf {x} [k]+\mathbf {A} ^{-1}\left(\mathrm {e} ^{\mathbf {A} T}-\mathbf {I} \right)\mathbf {B} \mathbf {u} [k]\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1a4cc157ce4f17d4b10d1342feb44305a4e8c9cf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -11.254ex; margin-bottom: -0.251ex; width:53.185ex; height:24.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} [k+1]&=&\mathrm {e} ^{\mathbf {A} T}\mathbf {x} [k]-\left(\int _{v(kT)}^{v((k+1)T)}\mathrm {e} ^{\mathbf {A} v}\,\mathrm {d} v\right)\mathbf {B} \mathbf {u} [k]\\&=&\mathrm {e} ^{\mathbf {A} T}\mathbf {x} [k]-\left(\int _{T}^{0}\mathrm {e} ^{\mathbf {A} v}\,\mathrm {d} v\right)\mathbf {B} \mathbf {u} [k]\\&=&\mathrm {e} ^{\mathbf {A} T}\mathbf {x} [k]+\left(\int _{0}^{T}\mathrm {e} ^{\mathbf {A} v}\,\mathrm {d} v\right)\mathbf {B} \mathbf {u} [k]\\&=&\mathrm {e} ^{\mathbf {A} T}\mathbf {x} [k]+\mathbf {A} ^{-1}\left(\mathrm {e} ^{\mathbf {A} T}-\mathbf {I} \right)\mathbf {B} \mathbf {u} [k]\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

qui est une solution exacte du problème de discrétisation.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Approximations">Approximations</h3></div>

Une discrétisation exacte peut parfois être impossible à cause d'une exponentielle de matrice lourde et des étapes d'intégrations. Il devient alors plus simple de calculer un modèle discret approché, basé sur de petits pas de temps de sorte qu'on ait <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {e} ^{\mathbf {A} T}\approx \mathbf {I} +\mathbf {A} T}">

<msup>

</mrow>

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</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {e} ^{\mathbf {A} T}\approx \mathbf {I} +\mathbf {A} T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec18f7ef9a3194ab9ac11a0d5f20fad16df472dc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:14.458ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {e} ^{\mathbf {A} T}\approx \mathbf {I} +\mathbf {A} T}" loading="lazy">. La solution approchée devient alors :

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {x} [k+1]\approx (\mathbf {I} +\mathbf {A} T)\mathbf {x} [k]+T\mathbf {B} \mathbf {u} [k].}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/99d598fbec5571a8636e4b8c8eee0c34e646e1b7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:35.267ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {x} [k+1]\approx (\mathbf {I} +\mathbf {A} T)\mathbf {x} [k]+T\mathbf {B} \mathbf {u} [k].}" loading="lazy"></dd></dl>

D'autres approximations possibles sont <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {e} ^{\mathbf {A} T}\approx \left(\mathbf {I} -\mathbf {A} T\right)^{-1}}">

<msup>

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<msup>

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<mrow>

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</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {e} ^{\mathbf {A} T}\approx \left(\mathbf {I} -\mathbf {A} T\right)^{-1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/221aa7873d8e8cde1d4919cd5d6cae381c08249b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.6ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {e} ^{\mathbf {A} T}\approx \left(\mathbf {I} -\mathbf {A} T\right)^{-1}}" loading="lazy"> et <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {e} ^{\mathbf {A} T}\approx \left(\mathbf {I} +{\frac {1}{2}}\mathbf {A} T\right)\left(\mathbf {I} -{\frac {1}{2}}\mathbf {A} T\right)^{-1}}">

<msup>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {e} ^{\mathbf {A} T}\approx \left(\mathbf {I} +{\frac {1}{2}}\mathbf {A} T\right)\left(\mathbf {I} -{\frac {1}{2}}\mathbf {A} T\right)^{-1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e07381ef334886f7eef33b9121fc25660728b455.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:35.527ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {e} ^{\mathbf {A} T}\approx \left(\mathbf {I} +{\frac {1}{2}}\mathbf {A} T\right)\left(\mathbf {I} -{\frac {1}{2}}\mathbf {A} T\right)^{-1}}" loading="lazy">.

Chacun a des propriétés de stabilité différentes. On peut également mentionner la <a href="Transformation_bilin%C3%A9aire" title="Transformation bilinéaire">transformation bilinéaire</a>, ou transformation de Tustin, qui préserve les propriétés de stabilité du <a href="Syst%C3%A8me_continu" class="mw-redirect" title="Système continu">système continu</a> en temps.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Discrétisation_d'équations_différentielles">Discrétisation d'équations différentielles</h2></div>

La résolution numérique d'une équation différentielle (ordinaire ou aux dérivées partielles) nécessite une discrétisation du <a href="Ensemble_de_d%C3%A9finition" title="Ensemble de définition">domaine de définition</a> de la solution (espace ou temps, voire les deux). Ainsi, d'une fonction u(x , t) définie sur un domaine Ω et un intervalle de temps [0 ; T], on ne calculera que des valeurs (u(xi , tn)), où les xi sont des points de Ω et tn des instants de [0 ; T]. Pour cela, les opérateurs différentiels sont également approchés par des versions discrètes, comme la <a href="D%C3%A9riv%C3%A9e_seconde_discr%C3%A8te" title="Dérivée seconde discrète">dérivée seconde discrète</a> :

<mfrac>

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</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\simeq {\frac {u_{i-1}-u_{i}}{x_{i-1}-x_{i}}}+{\frac {u_{i+1}-u_{i}}{x_{i+1}-x_{i}}}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/620a8018a34441208bb9e80995d49c71a573ba0c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:31.221ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\simeq {\frac {u_{i-1}-u_{i}}{x_{i-1}-x_{i}}}+{\frac {u_{i+1}-u_{i}}{x_{i+1}-x_{i}}}.}" loading="lazy"></dd></dl>

La méthode de résolution (<a href="M%C3%A9thode_des_diff%C3%A9rences_finies" title="Méthode des différences finies">différences finies</a>, <a href="M%C3%A9thode_des_%C3%A9l%C3%A9ments_finis" title="Méthode des éléments finis">éléments finis</a> ou <a href="M%C3%A9thode_des_volumes_finis" title="Méthode des volumes finis">volumes finis</a>, pour citer les plus courantes) permet de construire un problème discret dont la solution est une approximation de la solution du problème continu. L'erreur commise a deux sources :

<ul><li>l'erreur de projection : en passant d'un espace continu à un espace discret, l'espace dans lequel la solution existante est changée ;</li>

<li>l'erreur d'interpolation : le choix du schéma numérique et la définition de la grille espace-temps choisie pour la résolution va influer sur la qualité de l'approximation.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Discrétisation_de_caractéristiques_continues">Discrétisation de caractéristiques continues</h2></div>

En <a href="Statistique" title="Statistique">statistique</a> et <a href="Apprentissage_machine" class="mw-redirect" title="Apprentissage machine">apprentissage machine</a>, la discrétisation renvoie à la conversion de variables ou caractéristiques continues en variables ou caractéristiques discrètes nominales. Ce procédé est utile pour créer des fonctions de densité de probabilités.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Références">Références</h2></div>

<ul><li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « <a class="external text" href="https://en.wikipedia.org/wiki/Discretization?oldid=843671970">Discretization</a> » (<a class="external text" href="https://en.wikipedia.org/wiki/Discretization?action=history">voir la liste des auteurs</a>).</li></ul>

<li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> <abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Raymond A. DeCarlo, <cite class="italique" lang="en">Linear systems : A state variable approach with numerical implementation</cite>, Prentice-Hall, Inc., 1989.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Linear+systems+%3A+A+state+variable+approach+with+numerical+implementation&rft.pub=Prentice-Hall%2C+Inc.&rft.aulast=DeCarlo&rft.aufirst=Raymond+A.&rft.date=1989&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ADiscr%C3%A9tisation">

</li>

<li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> <abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Charles Van Loan, « <cite style="font-style:normal" lang="en">Computing integrals involving the matrix exponential</cite> », IEEE transactions on automatic control, <abbr class="abbr" title="volume">vol.</abbr> 23, <abbr class="abbr" title="numéro">no</abbr> 3,‎ <time>1978</time>, <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> 395-404<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=Computing+integrals+involving+the+matrix+exponential&rft.jtitle=IEEE+transactions+on+automatic+control&rft.issue=3&rft.au=Charles+Van+Loan&rft.date=1978&rft.volume=23&rft.pages=395-404&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ADiscr%C3%A9tisation">.

</li>

</ol></div>

</div>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Voir_aussi">Voir aussi</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Articles_connexes">Articles connexes</h3></div>

<ul><li><a href="Espace_discret" class="mw-redirect" title="Espace discret">Espace discret</a></li>

<li>Algèbre temporelle</li>

<li><a href="Simulation_%C3%A0_%C3%A9v%C3%A9nements_discrets" title="Simulation à événements discrets">Simulation à événements discrets</a></li>

<li>Simulation stochastique</li>

<li>Méthode des volumes finis pour des flux instables</li>

<li>Temps discret et temps continu</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Liens_externes">Liens externes</h3></div>

<ul><li>Robert Grover Brown & Patrick Y. C. Hwang, <cite class="italique">Introduction to random signals and applied Kalman filtering : with MATLAB exercises and solutions</cite>, 3rd, <time>1997</time>, 484 <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> (<a href="International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> 978-0-471-12839-7)<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Introduction+to+random+signals+and+applied+Kalman+filtering&rft.pub=3rd&rft.stitle=with+MATLAB+exercises+and+solutions&rft.au=Robert+Grover+Brown+%26+Patrick+Y.+C.+Hwang&rft.date=1997&rft.tpages=484&rft.isbn=978-0-471-12839-7&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ADiscr%C3%A9tisation"></li>

<li>Chi-Tsong Chen, <cite class="italique">Linear System Theory and Design</cite>, Philadelphia, PA, USA, Saunders College Publishing, <time>1984</time> (<a href="International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> 0-03-071691-8)<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Linear+System+Theory+and+Design&rft.place=Philadelphia%2C+PA%2C+USA&rft.pub=Saunders+College+Publishing&rft.aulast=Chen&rft.aufirst=Chi-Tsong&rft.date=1984&rft.isbn=0-03-071691-8&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ADiscr%C3%A9tisation"></li>

<li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Charles Van Loan, « <cite style="font-style:normal" lang="en">Computing integrals involving the matrix exponential</cite> », IEEE transactions on automatic control, <abbr class="abbr" title="volume">vol.</abbr> 23, <abbr class="abbr" title="numéro">no</abbr> 3,‎ <time>1978</time>, <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> 395-404<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=Computing+integrals+involving+the+matrix+exponential&rft.jtitle=IEEE+transactions+on+automatic+control&rft.issue=3&rft.au=Charles+Van+Loan&rft.date=1978&rft.volume=23&rft.pages=395-404&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ADiscr%C3%A9tisation"></li>

<li>R.H. Middleton et G.C. Goodwin, <cite class="italique">Digital control and estimation : a unified approach</cite>, <time>1990</time>, 33 <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> (<a href="International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> 0-13-211665-0)<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Digital+control+and+estimation&rft.stitle=a+unified+approach&rft.aulast=Middleton&rft.aufirst=R.H.&rft.au=G.C.+Goodwin&rft.date=1990&rft.tpages=33&rft.isbn=0-13-211665-0&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ADiscr%C3%A9tisation"></li></ul>

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